KEY WORDS AND PHRASES: Turing, National Physical Laboratory, ACE and PILOT ACE, Woodger, Huskey, matrix computations, Faddeeva, error analysis, Turing's contribution, mathematical physics, applied mathematics

CR CATEGORIES: 1.2, 5.10, 5.11, 5.14

Introduction

當我終於從被邀請給予1970年圖靈獎演講的震驚欣喜中恢復過來時，我意識到我確實必須準備一個合適的演講。圖靈獎演講者似乎有一個傳統，即自行決定對他們有何期望，或許正因為如此，之前的演講在風格和內容上差異很大。然而，很明確地告訴我，我將發表一個午餐後的演講，並且沒有投影機或黑板的輔助。

儘管我自從先驅時代起就與高速電腦結緣，但我被賦予1970年演講榮譽的主要原因（如果有的話）在於我作為數值分析師的工作，特別是在誤差分析領域。研究這次會議的議程顯示，數值分析顯著地缺席了，因此我覺得準備一篇關於捨入誤差的相當沉重的論述並不合適；事實上，我懷疑這在任何場合下都不會是午餐後演講的合適主題。因此，我決定根據我過去二十五年作為數值分析師的經驗，提出一些相當個人化的評論。

有一個重要方面，我很有可能在圖靈獎演講者中佔據獨特的地位。

Maurice Wilkes 在1967年圖靈獎演講中提到，在他之後的許多演講者不太可能是認識Alan Turing的人。事實上，我能聲稱遠不止於此。從1946年到1948年，我有幸在National Physical Laboratory與這位偉人本人共事。我慎重地使用「偉人」一詞，因為他確實是一位傑出的天才。對我們這些在N.P.L.認識並與他共事的人來說，ACM能夠通過設立圖靈獎來表彰他對電腦科學的傑出貢獻，這是一件令人非常高興的事，並且由於我在他職業生涯一個重要時期與他的工作有聯繫，能夠成為獲獎者對我來說尤其令人感到滿足。我相信在這種情況下，如果我把演講的大部分時間獻給與他共事的那段時期，這不會被視為不恰當。我的職業生涯無疑受到了這種聯繫的深遠影響，如果沒有它，我不太可能留在電腦領域。

我的天性和訓練使我成為一位古典分析師；在三十年代，Cambridge仍被古典分析主導，我受到Hardy-Littlewood傳統的強烈影響。如果不是第二次世界大戰，我幾乎肯定會在那個領域攻讀博士學位。然而，戰爭爆發時我已屆兵役年齡，並且由於天生愛國，我感到在政府科學服務部門工作，比起服役，更能有效地為我的國家服務，而且順帶說一句，也舒適得多。英國政府在這個問題上採取了令人驚訝的開明態度，從戰爭一開始就鼓勵具有科學資格的人走這條路。

因此，我在Armament Research Department度過了戰爭時期，這個部門與Aberdeen Proving Ground有很多共同點，主要研究外彈道學、炸彈和砲彈的破片效應以及炸藥的熱力學等迷人的主題。我的任務是解決這些領域中出現的數學性質的問題，必要時使用計算方法。任何經歷過這種訓練的人都知道這可能是一次相當具有挑戰性的經歷，成功往往伴隨著失敗。起初我並不覺得這項任務特別稱心，但漸漸地我開始對物理問題的數值解法產生興趣。在本演講後續部分，我將描述一次早期的矩陣計算經歷，它對我隨後的職業生涯產生了相當大的影響。

戰爭結束後不可能立即退役，於是我在1946年加入了National Physical Laboratory新成立的Mathematics Division。我在那裡第一次見到Alan Turing，儘管我之前當然通過名聲認識他，但主要是作為一個怪人。現在回想起來很有趣，當時電腦科學在N.P.L.幾乎涵蓋了兩個完整的部門並滲透到其餘部門，而高速計算部門（或當時稱作ACE部門）的人員只有1.5人。這1人當然就是Alan Turing本人，而我是那0.5人。我趕緊補充，這不是我故作謙虛。我將把一半時間花在由Charles Goodwin和Leslie Fox能幹地領導的計算部門，另一半時間與Alan Turing共事。有幾個月，Alan和我在一個非常小的房間裡一起工作，這個房間位於一幢被N.P.L.暫時徵用來容納Mathematics Division的老房子的頂層。不用說，二十五年後，它仍然是N.P.L.的一部分。Turing從未成為一個「建立帝國」的人；他招募員工相當緩慢，並且與他們密切合作。一年後，員工總數僅達到3.5人，新增的兩位是Mike Woodger（他以在Algol方面的工作而聞名）和Harry Huskey（ACM的聽眾無需介紹），Harry Huskey於1947年在N.P.L.度過。

我的任務是協助Turing進行將在N.P.L.建造的電腦ACE的邏輯設計，並考慮編寫一些基本的數值分析演算法的問題，我在計算部門的工作旨在擴展我對該學科的知識。（你們中熟悉Turing工作的人會感興趣地知道，他把特定問題所需的指令集稱為相關的「instruction table」，這個術語後來導致與其他地方的人產生誤解。）正如你們可以想像的，這讓我幾乎沒有空閒時間。與Turing一起工作是極其刺激的，有時甚至到了筋疲力盡的地步。他最近自己對數值分析的問題產生了濃厚的興趣，並且他非常高興對Leslie Fox（我們在N.P.L.經驗最豐富的數值分析師）的方法提出深刻而有益的批評。為Turing這樣的人「半職」工作是不可能的，幾乎從一開始，在計算部門度過的時間就相當短暫。然而，這個聯合任命確實有其有用之處。Turing有時會有「難以接近」的日子，在這種時候，謹慎行事是明智的。我很快就學會了識別這些症狀，並會行使我的權利（或者，我通常會說「履行我的義務」），到計算部門工作，直到這種情緒過去，這通常很快就會發生。

Turing強烈傾向於從第一原理出發解決問題，通常起初不參考任何之前關於該主題的工作，毫無疑問，正是這個習慣賦予了他的工作那種獨特的原創風味。這讓我想起據說Beethoven在被問及是否聽過某部引起廣泛關注的Mozart作品時所說的話。他回答說沒有，並補充道「我也不會去聽，以免失去我自己的一些原創性。」

Turing將這一點發揮到了極致，我必須承認起初我覺得這很惱人。他會給我一項工作，當我完成後，他甚至不屑於看我的解決方案，而是自己開始解決問題；只有在他自己初步嘗試後，他才準備閱讀我的工作。我很快就看到了他方法的優點。首先，他掌握他人想法的速度確實不如他自己構思想法的速度快，但更重要的是，他經常會想出一些我沒有想到的原創方法，而如果他立即閱讀了我的報告，他很可能也會想不到。當他最終讀到我的工作時，他通常非常欣賞；他特別喜歡小的程式設計技巧（有些人會說他太喜歡這些技巧而不能算一個「好」的程式設計師），並會為我可能使用過的任何小技巧而像個孩子般開心地笑。

當我加入N.P.L.時，我並沒有決定永久留下來，心裡仍想著回Cambridge從事古典分析的研究。與Turing共事的這段時期極大地激發了我對電腦專案的熱情，並極大地提高了我在數值分析方面的興趣，我逐漸放棄了這個想法。正如我喜歡在與純數學家朋友交談時所說的，如果不是Turing的名聲，它本可以從我這裡得到提升。然而，我必須說，他已發表的著作未能充分展現他作為數學家的非凡多才多藝。他的知識廣泛涵蓋整個純粹數學和應用數學領域，而且似乎不僅是他從書本上學到的東西，而是他自身不可分割的一部分。很難想像他會「忘記」其中任何一部分。儘管如此，他在二十年間僅有二十篇已發表論文（而且這是在包括幾乎所有文章的情況下），其中一些論文雖然卓越，但這只是他在情況稍有不同時可能完成的工作的一小部分。

首先是從1939年開始的六年，他在Foreign Office度過。1939年他27歲，所以在不同情況下，這段時期很可能是他一生中最富產的時期。他似乎並不後悔在那裡度過的時光，事實上，我們認為那是他一生中最快樂的時期之一。Turing就是喜歡各種問題和謎題，他在那裡遇到的問題一定給他帶來了很多樂趣。可以肯定的是，他是在那裡獲得了電子學知識，這可能是他決定去N.P.L.設計電子計算機而不是回Cambridge的決定性因素。數學家傾向於將這段時期稱為「被浪費的歲月」，但我認為他是一位思想更為開闊的科學家，不會這樣看待。

限制他產出的第二個因素是他顯著不喜歡動筆。據說他在學校對「英語科目」沒有什麼熱情，而他似乎覺得發表論文的乏味比我們大多數人更令人沮喪。對我自己而言，我發現他的寫作風格相當令人耳目一新，充滿了一些個人化的筆觸，對於認識他的人來說尤其有吸引力。在創作過程中，他會在一台舊打字機上敲打（說得客氣點，他的打字水平很一般），正是在這種時候，去計算部門拜訪尤其可取。

在我準備這次演講時，一份早期的Mathematics Division報告被發掘出來。這份報告由Turing在1946年為N.P.L.的執行委員會撰寫，其主要目的是讓委員會相信建造電子計算機的可行性和重要性。報告充滿了他特有的幽默感，我在約24年後第一次重讀時，再次對他的非凡原創性和多才多藝感到震驚。或許值得提醒的是，早在1946年，Turing就已經考慮了使用區間算術和有效數字算術的可能性，報告喚起了我們關於這個主題遺忘的對話，更不用說激烈的爭論了。

Turing的國際聲譽主要建立在他關於可計算數的工作上，但我喜歡回憶他是一位傑出的數值分析師，並且從1946年起，他大部分時間都在這個領域工作，儘管主要是與物理問題的解決相關。在N.P.L.期間，他寫了一篇關於矩陣計算誤差分析的傑出論文[1]，我稍後會再談到這點。

在N.P.L.的最後幾個月，Turing對ACE專案的進展越來越不滿。他一直想建造一台擁有200個長延遲線，儲存約6000個詞語的大型機器，我認為這對於當時N.P.L.（以及實際上大多數其他地方）的資源來說是一個過於宏大的計畫。在他訪問期間，Harry Huskey試圖基於Turing的想法，啟動一個較不宏大的機器專案。Alan始終無法支持這個計畫，並於1948年離開N.P.L.加入了Manchester University的團隊。

在他離開後，Mathematics Division的ACE部門的四位資深成員和新成立的Electronics Section聯合起來，合作建造了電腦PILOT ACE，我們採納了與Harry Huskey一起設計的一些想法；在接下來的兩到三年裡，我們都當電子工程師。我想我們可以說PILOT ACE是一個完全的成功，並且由於Turing不會允許這個專案啟動，至少在這個程度上，我們從他的離開中受益，儘管Mathematics Division再也不像以前那樣了。與天才共事有利有弊！然而，一旦這台機器獲得成功，Turing就沒有任何酸葡萄心理，對於所取得的成就，他總是極其慷慨。

The Present State of Numerical Analysis

我現在想談談我演講的主要主題，即數值分析的現狀。數值分析在構成相當模糊的電腦科學學科的各種主題中是獨一無二的。我這樣說相當具有挑戰性，因為我會非常遺憾地看到數值分析與電腦科學斷絕所有聯繫，儘管我認識到我的觀點在一定程度上受到我在電子計算機建造的令人興奮的先驅時代工作的影響。儘管如此，數值分析明顯不同於其他主題，它擁有悠久而卓越的歷史。只有這個名稱是新的（它似乎在五十年代之前沒有被使用過），這一點它至少與電腦科學有共同之處。

有些人喜歡將其歷史追溯到巴比倫人，如果選擇將任何相當系統化的計算視為數值分析，我想這是可以辯解的。當然，許多數學界的巨擘，包括偉大的Newton和Gauss本人，都將他們研究的相當一部分時間投入到計算問題上。在那些日子裡，數學家可以這樣度過時光，而不用擔心同事的批評。

電腦革命的許多領導者都考慮開發一種工具，其明確目的是解決物理學和工程學中出現的問題。對於von Neumann和Turing這兩位天才來說，情況確實如此，他們在早期吸引了許多真正有能力的人進入計算領域。我之前提到的Turing報告清楚地表明，他認為這些應用是展開當時即使已經相當昂貴的事業的主要正當理由。在新成立的電腦學會的領袖中有很高比例的人主要都是數值分析師，而新期刊的編輯委員會也主要由他們組成。

電子計算機的使用帶來了一系列新問題，所有這些問題或許都與「程式設計」鬆散相關，很快一個全新的領域圍繞著計算機發展起來。Philip Davis在一篇精彩的關於數值分析的文章[2]中使用了「computerology」一詞來概括這些多樣化的活動，但他小心地將這個詞歸因於一位未透露姓名的友善批評者。我在這次演講中不打算貶義地使用這個詞，但它是一個有用的集合詞，涵蓋了電腦科學中除數值分析以外的所有內容。許多最初打算解決數學物理中某些問題的人發現自己暫時被computerology的問題轉移了注意力，我們仍在屏息以待他們在帶著卓越的智慧回歸時必定會做出的劃時代貢獻。

與數值分析形成對比的是，computerology的問題完全是新的。整個科學以不斷的活動和興奮為特徵，全新的主題不斷湧現。雖然毫無疑問，一些新的活動將被證明是短暫的，但computerology在確保計算機得到充分利用方面發揮著至關重要的作用。我確信數值分析師與一群如此充滿活力和熱情的人聯繫在一起是件好事。我同樣確信，電腦科學包含像數值分析這樣具有堅實過去成就背景的學科是有價值的。

然而，數值分析在電腦科學的環境中不可避免地開始顯得有點「方正」（square），數值分析師也開始顯示出對自己失去信心的跡象。數學系中目前的抽象化趨勢使得關係變得緊張，這加劇了他們的孤立感。如果電腦革命發生在19世紀，情況會有多麼不同！在Davis的文章中，他提到人們已經開始問：「數值分析死了嗎？」Davis已經給出了他自己的答案，我在此不打算深入討論。無論如何，「數值分析師」可以比作電腦科學中的「當權派」（The Establishment），而在所有領域中，診斷「當權派」出現「僵屍」跡象（rigor mortis）都是時髦的。

第二個問題被問到的頻率越來越高。它以許多不同的形式出現，但或許最好用一句流行語來表達：「數值分析有什麼新鮮事嗎？」這個問題總是帶著一種語氣，毫無疑問地表明提問者的答案是「沒有」，或者更可能是一個更粗俗的、英語中豐富的兩個詞的同義詞。這個批評讓我想起關於泛函分析存在的類似情況。那些受過舊傳統訓練的人傾向於說「泛函分析沒有什麼新鮮事，它只是用新衣服包裝舊結果。」這句話恰好足以證實批評者的愚蠢。

在我看來，這種隱含的批評涉及一個錯誤的比較。當然，computerology中的一切都是新的；這既是它的吸引力，也是它的弱點。我最近才得知計算機正在徹底改變占星術。通過計算機排星盤！這以前絕對沒有人做過，而且我聽說這非常賺錢！但認真來說，我們不能期望數值分析會在短短一二十年內天翻地覆，僅僅因為我們給它起了個新名字，並終於有了令人滿意的工具來工作。在過去的300年裡，數學界一些最優秀的智者已經投入解決我們正試圖解決的問題。我們的進步速度無法完全跟上computerology那種令人眼花繚亂的節奏，這並不奇怪。

Some Achievements in Numerical Analysis

萬一你們想說我正要開始為沒有取得任何實際進展找藉口，我趕緊向你們保證我沒有這個打算。在我準備這次演講時，我簡要回顧了1950年以來取得的成就，發現它們令人驚訝地印象深刻。在接下來的幾分鐘裡，我想稍微談談我在最熟悉的領域，即矩陣計算方面取得的成就。

我們很幸運，V. N. Faddeeva撰寫的那本小書[3]提供了1950年狀況的簡潔而準確的描述。書中很大一部分專門討論特徵值問題的解法，而書中討論的絕大多數方法今天都不再使用。事實上，就非Hermitian矩陣而言，即使是1957年Wayne矩陣會議上倡導的方法也幾乎完全被取代了。使用現代版本的QR演算法，可以期望在約一分鐘的時間內生成一個100階密集矩陣的精確特徵系統。如果需要，還可以進一步為特徵值和特徵向量提供嚴格的誤差界限，並由此產生一個更精確的系統作為附帶結果。在1957年的Wayne會議上，我們似乎還遠未達到這樣的成就。進展中一個特別令人高興的特點是，對由誤差分析進步引起的數值穩定性問題的認識，在提出新演算法方面發揮了寶貴的作用。

在開發用於解決偏微分方程產生的稀疏線性系統的迭代方法方面，也取得了可比的進步；在這裡，演算法的進步與對迭代方法收斂性質更深入的理解同步進行。就密集系統而言，新演算法的發展不太重要，但我們對標準方法穩定性的理解已經發生了徹底的轉變。

關於這一點，我想說說我與Turing共事的最後幾句話。1946年我加入N.P.L.時，關於解決線性系統的消去法穩定性的悲觀情緒達到頂峰，成為主要的談論焦點。有人提出了據說表明解中誤差與$4^n$成比例的界限，這意味著解決甚至相當適度階數的系統也是不切實際的。我想當時（1946年）更傑出的數學家是更悲觀的，那些天賦較差的人或許無法完全理解困難的嚴重性。我不打算說明我在這個範圍上的位置，但我發現自己處於一個相當不舒服的位置，原因如下。

碰巧的是，我在Armament Research Department時遇到了一次矩陣計算經歷，讓我相當困惑。在一連串失敗之後，我被給予一個12個線性方程組來求解。我很高興終於得到一個我「完全了解」的問題，信心十足地帶著任務離開，相信我會在很短的時間內帶著解回來。然而，當我回到房間時，我的信心迅速消失了。那144個係數突然看起來比我剛拿到時大得多。我查閱了當時為數不多的幾本書，其中一本順帶建議直接使用Cramer法則和行列式！我很快就明白這不是個好主意，最終決定使用高斯消去法，並使用現在稱為「部分主元法」（partial pivoting）的策略。

對消去法中捨入誤差的焦慮尚未開始蔓延，我小心翼翼地進行了十位數計算，以預防我預期的嚴重不穩定問題。這個系統，我想，是輕微病態的（ill-conditioned），雖然那時我們並不常使用這種貶義詞。我從單位量級的係數開始，數字慢慢地損失，直到最終簡化的方程形式為，例如，0.00003762352 x_12 = 0.00002。

在這個階段，我記得我心裡想著，即使沒有捨入誤差累積，從這個關係計算出的x_12也很難有超過六位正確數字，於是我考慮只保留六位數字。然而，正如你們中那些使用台式計算機工作過的人所知，如果堅持固定的工作模式，犯錯會比較少，因此我計算了所有變數到十位數字，儘管完全意識到這樣做的荒謬。碰巧所有解的量級都是單位（這從物理問題的性質來看是預料之中的）。

然後，作為一個訓練有素的計算員，我將我的解代回原始方程組以檢查它們是否吻合。由於x_12是從第一個原始方程組推導出來的，我從將其代入第12個方程開始。你會明白，在台式機器上，內積是精確累積的，總共有20位數字。（有趣的是，現在我們幾乎總是接受計算機算術單元較差的性能！）令我驚訝的是，左邊與給定的右邊吻合到十位數字，即與右邊的完整範圍吻合。我對自己說，這只是一個巧合。接著是十一個更多的「巧合」，儘管或許不是那麼快！我完全被搞糊塗了。我確信任何變數都不可能超過六位正確數字，但結果卻與我被給予精確答案然後四捨五入到十位數字一樣吻合。然而，戰爭還沒有打贏，現在不是對捨入誤差進行內省的時候；無論如何，我已經花了比我最初自信估計的時間多好幾倍。我的「包工頭」不像他應該的那樣欣賞，但他不得不承認當我聲稱我的「精確解」對應於一個僅在第十位與給定右邊不同的右邊時，他感到印象深刻。

正如你們可以想像的，當我來到N.P.L.，遇到對消去法極度不穩定的擔憂時，這段經歷在我腦中記憶猶新。當然，我仍然相信我計算出的答案最多只有六位正確數字，但令人困惑的是，在我唯一的線性系統計算經歷中，需要解釋的是解的驚人準確性（至少在殘差很小的意義上）。在N.P.L.當時的氛圍下，我決定不冒風險，避免強調這段經歷而顯得愚蠢。

然而，碰巧在我到達N.P.L.一段時間後，Mathematics Division收到了一個18個方程組的系統，我們討論了一陣子後，最終決定停止理論探討，開始求解。18個方程組即使在有了12個方程組的經驗後，仍然是相當令人望而生畏的，因此我們決定共同努力。這次操作由Fox、Goodwin、Turing和我負責，我們決定採用高斯消去法並使用完全主元法（complete pivoting）。Turing對此並不特別熱衷，部分是因為他不是在台式機器上有經驗的操作者，部分是因為他確信這會失敗。

歷史驚人地重複了。系統再次是輕微病態的，最後一個方程的係數量級為$10^{-4}$（原始係數量級為單位），殘差再次量級為$10^{-10}$，即與將精確解四捨五入到十位小數對應的量級。有趣的是，對於這個例子，我們隨後進行了一兩步現在稱為「迭代改進法」（iterative refinement）的操作，這使我們相信第一個解幾乎有六位正確數字。

我想這必須被視為Turing的一次失敗，因為當時他比我們任何人都更堅定地 adherer 至悲觀學派。然而，我相信這段經歷給他留下了深刻的印象，並促使他重新思考消去過程中的捨入誤差問題。大約一年後，他發表了他著名的論文「Rounding-off errors in matrix processes」[1]，這篇論文與J. von Neumann和H. Goldstine的論文[4]一起，極大地驅散了陰霾。第二回合無疑是Turing贏了！

我想這個故事很好地說明了當時存在的混亂思維狀態，甚至連該領域最傑出的人也存在這種狀態。相比之下，我認為我們可以相當公平地聲稱，今天我們對矩陣穩定性問題有了相當完整的理解，不僅在解決線性系統方面，也在困難得多的特徵值問題方面。

Failures in the Matrix Field

儘管我們可以聲稱在矩陣領域在演算法開發及其性能理解方面取得了成功，但在其他方面，即使在這個領域，我們也並非特別成功。其中最重要的是部分溝通失敗。演算法的使用和對穩定性問題的普遍理解遠遠落後於其發展。矩陣計算的基本問題具有簡單的公式化優勢，我認為準備經過良好測試和良好文檔說明的演算法應該與它們的開發和分析同步進行。有兩個原因導致這沒有發生：（一）徹底準備文檔是一項比想像中更艱鉅的任務。（二）對此沒有給予足夠的優先級。最近一兩年有跡象表明這些不足正在克服，這得益於Handbook for Automatic Computation [5]的工作，Argonne National Laboratory為中心的矩陣演算法工作，以及Bell Telephone Laboratories更普遍的項目[6]。我認為，將在開發令人滿意的演算法方面投入的所有工作充分提供給需要使用的人至關重要。我甚至會更進一步聲稱，確保這一點的實現是一種社會責任。

關於矩陣領域工作的一個令人不安的第二個特點是，它往往與非常密切相關的領域隔離。我特別想提到線性規劃（linear programming）和統計計算（statistical computations）。直到最近，線性代數和線性規劃領域的工作者似乎幾乎完全是互不相關的群體，這無疑是不 desirable 的。實用統計中所需的標準計算提供了應用基本矩陣演算法的最直接機會，然而合作卻 surprisingly 少。我最近看到一位著名實用統計學家關於奇異值分解（singular value decomposition）的文章，其初稿至少沒有提到Kahan和Golub的工作，他們為此目的開發了如此出色的演算法。顯然雙方都有不足，但我認為主要責任在於矩陣領域的工作者，他們應確保他們的工作在相關領域得到應用，這需要積極的政策。再次有跡象表明這種隔離正在瓦解。在Stanford，線性規劃的先驅Professor Dantzig現在兼任計算機科學系職位，而英國也正在醞釀舉行矩陣專家和統計學會成員的聯合會議。歷史偶然事件常常在打破壁壘方面發揮巨大作用，有趣的是，關於偏微分方程數值解法和矩陣代數的工作者之間的合作一直非常密切。

令人失望的第三個特點是數值分析師未能按照應有的方式影響計算機硬體（hardware）和軟體（software）。在計算機革命早期，計算機設計師和數值分析師密切合作，實際上常常是同一群人。現在有一種令人遺憾的趨勢，數值分析師選擇放棄對算術設施設計的任何責任，並且未能影響軟體更基本的特性。人們常說，將計算機用於科學工作僅佔市場的一小部分，數值分析師已經聽天由命地接受為其他目的「設計」的設施，並盡力利用它們。我並不認為這是不可避免的，如果他們在表達要求方面足夠團結，沒有理由不能滿足他們的要求。畢竟，從數值分析師的角度來看，電子計算機的主要優點之一是它能夠「快速進行算術運算」。難道算術運算必須那麼糟糕嗎！即使在這裡，也有令人充滿希望的發展。W. Kahan的工作尤其值得一提，去年九月，一家著名的製造商贊助了一次關於這個主題的會議，會上他以及其他人有機會表達他們的觀點。

Final Comments

我堅信數學計算在未來將發揮巨大作用，並且其貢獻將完全符合計算機革命偉大先驅們的期望。目前對數值分析師而言最大的危險源於缺乏對自己的信心，而這是沒有真實根據的。我認為在接下來的十年裡，數值分析的研究性質必然會發生實質性變化。在前二十年裡，我們專注於基本問題，例如線性和非線性代數以及逼近理論中出現的問題。回顧過去，這些將顯得是我們執行真正任務所需工具的初步磨礪。為此取得成功，必須比迄今為止更有效地從應用數學家和數學物理學家的隊伍中招募人才。最近訪問蘇聯時，我驚訝地發現，大多數數值分析研究是由本質上是數學物理學家的人進行的，他們決定用數值方法解決他們的問題，並且他們在科學院中佔有重要地位。儘管我認為西方在成就比較上沒有什麼好擔心的，但我確實覺得蘇聯的士氣明顯更高。

在英國，有跡象表明潮流已經開始轉變。University of Dundee將舉辦一個數值分析年，在此期間，世界上許多更傑出的數值分析師將訪問英國。最近，Royal Society舉行了一場關於數值分析主題的討論會。一兩年前，這樣的事情幾乎是無法想像的。我期待著數值數學主導應用領域，並再次在ACM會議上佔據中心地位的時刻到來。

REFERENCES

  1. TURING, A.M. Rounding-off errors in matrix processes. Quart. J. Mech, 1 (1948), 287-308.
  2. DAVIS, P.J. Numerical analysis. In The Mathematical Sciences: A Colleclian of Essays. MIT Press, Cambridge, Mass., 1969.
  3. FADDEEVA, V.N. Computational Methods of Linear Algebra, Translated by C. D. Benster. Dover, New York, 1959.
  4. YON NEUMANN, J. AND GOLDSTINE, H. H. Numerical inverting of matrices of high order. Bull. Amer. Math. Soc. 5S (1947), 1021-1099.
  5. WILKINSON, J.H. Handbook for Automatic Computation, Vol. S. Linear Algebra. Springer-Verlag, Berlin (to be published).
  6. GENTLEMAN, W. M., AND TRAUB, J. F. The Bell Laboratories numerical mathematics program library project. Proc. ACM 23rd Nat. Conf., 1968, Brandon/Systems Press, Princeton, N. J., pp. 485-490.